Ideales del anillo localizado

Sea A un anillo conmutativo, S un conjunto multiplicativamente cerrado, B := S^{-1}A el anillo localizado y f : A \to B el morfismo canónico, determinado por a \mapsto a/1. Para cada ideal \mathcal{I} \subseteq A se denota \mathcal{I}^e := \langle f(\mathcal{I}) \rangle (i.e. el ideal generado por f(\mathcal{I}) en B), y lo llamaremos el ideal extendido de \mathcal{I}. Para cada ideal \mathcal{J} \subseteq B denotamos \mathcal{J}^c := f^{-1}(\mathcal{J}), y lo llamaremos el ideal contraído de \mathcal{J}.

Parte 1

Si \mathcal{I} \subseteq A es un ideal, entonces \mathcal{I} \subseteq (\mathcal{I}^e)^c.

Demostración. Sea i \in \mathcal{I}. Entonces:

  • f(i) = i/1 \in f(\mathcal{I})
  • f(i) \in \langle f(\mathcal{I}) \rangle
  • f(i) \in \mathcal{I}^e por definición de ideal extendido
  • i \in f^{-1}(\mathcal{I}^e)
  • i \in (\mathcal{I}^e)^c por definición de ideal contraído

Con lo cual todo i \in \mathcal{I} está en (\mathcal{I}^e)^c.

Observación.

Si \mathcal{I} \cap S \neq \emptyset, entonces \mathcal{I}^e = B y (\mathcal{I}^e)^c = A.

Para ver esto, considerar s \in \mathcal{I} \cap S. Por un lado, f(s) \in f(\mathcal{I}). Además, f(s) = s/1 es un elemento inversible en B = S^{-1}A, con inverso 1/s. De este modo, 1 = f(s) f(s)^{-1} \in \langle f(\mathcal{I}) \rangle = \mathcal{I}^e, con lo cual se tiene que \mathcal{I}^e es todo el anillo B, y consiguientemente (\mathcal{I}^e)^c = f^{-1}(B) = A.

Parte 2

Si \mathfrak{p} \subseteq A es un ideal primo que no interseca a S, entonces (\mathfrak{p}^e)^c = \mathfrak{p}.

Demostración. La Parte 1 garantiza la inclusión (\supseteq). Para la otra inclusión, (\subseteq), sea a \in (\mathfrak{p}^e)^c = f^{-1}(\langle f(\mathfrak{p}) \rangle). Se verá que a \in \mathfrak{p}.

Dicho elemento cumple f(a) \in \langle f(\mathfrak{p}) \rangle y por lo tanto, f(a) debe ser de la forma \sum_{i=1}^n b_i\,f(p_i) para ciertos n \in \mathbb{N}, b_i \in B, p_i \in \mathfrak{p}. Se tiene entonces:

  • f(a) = \sum_{i=1}^n b_i\,f(p_i)
  • a/1 = \sum_{i=1}^n b_i\,(p_i/1) por definición de f
  • a/1 = \sum_{i=1}^n (x_i/s_i)\,(p_i/1) considerando que cada b_i \in B = S^{-1}A debe ser de la forma x_i/s_i para algunos x_i \in A y s_i \in S.
  • a/1 = \sum_{i=1}^n (x_i\,p_i)/s_i tomando el producto en el anillo localizado B = S^{-1}A
  • a/1 = \left(\sum_{i=1}^n x_i\,p_i\,\prod_{j=1,j\neq i}^n{s_j}\right) / \left(\prod_{i=1}^n s_i \right) sumando en el anillo localizado (tomando el producto de los s_i como denominador común)
  • \tilde{s}(a\,\left(\prod_{i=1}^n s_i \right) - \left(\sum_{i=1}^n x_i\,p_i\,\prod_{j=1,j\neq i}^n{s_j}\right)) = 0 para algún \tilde{s} \in S, por definición de la relación de equivalencia con la que se define el anillo localizado
  • Despejando, a\,\left(\prod_{i=1}^n s_i  \right)\,\tilde{s} = \tilde{s}\,\left(\sum_{i=1}^n x_i\,p_i\,\prod_{j=1,j\neq i}^n{s_j}\right)). Notar que el lado derecho está en \mathfrak{p} porque es una combinación lineal de elementos p_i \in \mathfrak{p}.
  • De este modo se tiene que a\,\left(\prod_{i=1}^n s_i\right)\,\tilde{s} está en \mathfrak{p}.

Por ser \mathfrak{p} primo, se tiene que a \in \mathfrak{p} o bien s" = \left(\prod_{i=1}^n s_i\right)\,\tilde{s} \in \mathfrak{p}. Pero esto último no puede ser, porque s" \in S, que por hipótesis tiene intersección vacía con \mathfrak{p}. De modo que a \in \mathfrak{p}, que es lo que se quería probar.

Parte 3

Dado un ideal \mathcal{J} \subseteq B cualquiera, se tiene \mathcal{J} = (\mathcal{J}^c)^e.

Demostración.

Para la inclusión (\subseteq), sea j \in \mathcal{J} \subseteq B. Entonces j = a/s para algunos a \in A, s \in S. Tomando f(s) \in B, se puede considerar el elemento f(s)\,j, que está en \mathcal{J} pues este es un ideal. Notar entonces que usando la definición de producto en el anillo localizado se tiene la cadena de igualdades: f(s)\,j = (s/1)\,(a/s) = a/1 = f(a) \in \mathcal{J}, y de aquí se deduce que a \in f^{-1}(\mathcal{J}) = \mathcal{J}^c. Basta ver ahora que j \in \langle f(a) \rangle \subseteq \langle f(\mathcal{J}^c) \rangle = (\mathcal{J}^c)^e. Esto es cierto pues j = a/s = (a/1)\,(1/s) = f(a)\,(1/s) \in \langle f(a) \rangle.

Para la otra inclusión, (\supseteq), sea j \in (\mathcal{J}^c)^e = \langle f(\mathcal{J}^c) \rangle = \langle f(f^{-1}(\mathcal{J})) \rangle. Como en general vale la inclusión f(f^{-1}(\mathcal{J})) \subseteq \mathcal{J}, se tiene en este caso que j \in \langle f(f^{-1}(\mathcal{J})) \rangle \subseteq \langle \mathcal{J} \rangle = \mathcal{J}.

Parte 4

Todo ideal \mathcal{J} de B puede generarse con elementos de la forma a / 1.

Demostración. Esto es consecuencia de la Parte 3, pues \mathcal{J} = \langle f(\mathcal{J}^c) \rangle donde \mathcal{J}^c \subseteq A, de modo que \mathcal{J} está generado por el conjunto \{ a/1 \ |\ a \in \mathcal{J}^c \}.

Parte 5

Están en correspondencia biunívoca:

  • Los ideales primos \mathcal{I} \subseteq A que tienen intersección vacía con S.
  • Los ideales primos \mathcal{J} \subseteq B.

Demostración.

Sean:

  • \mathcal{P}_A = \{ \mathcal{I} \subseteq A \ |\ \mathcal{I}\text{ ideal primo}, \mathcal{I} \cap S = \emptyset \}
  • \mathcal{P}_B = \{ \mathcal{J} \subseteq B \ |\ \mathcal{J}\text{ ideal primo} \}

Tomar como biyección la función \bullet^e : \mathcal{P}_A \to \mathcal{P}_B que extiende un ideal de A a uno de B, determinada por \mathcal{I} \mapsto \mathcal{I}^e. Como su inversa, tomar la función \bullet^c : \mathcal{P}_B \to \mathcal{P}_A que contrae un ideal de B en uno de A, determinada por \mathcal{J} \mapsto \mathcal{J}^c.

En el caso de que estén bien definidas, son efectivamente inversas porque, por la Parte 3, se tiene que (\mathcal{J}^c)^e = \mathcal{J} para todo ideal \mathcal{J} \subseteq B, y por la Parte 2 se tiene que (\mathcal{I}^e)^c = \mathcal{I} para todo ideal primo \mathcal{I} \subseteq A que no interseca a S.

Sólo resta ver que están bien definidas, es decir que los ideales en la imagen de \bullet^e son primos, y que los ideales en la imagen de \bullet^c son primos que no intersecan a S.

Buena definición de \bullet^e.

Sea \mathcal{I} \subseteq A un ideal primo que no interseca a S. Entonces \mathcal{I}^e es un ideal de B. Se verá que es primo. Sea u\,v \in \mathcal{I}^e. Se tiene entonces que u\,v debe ser de la forma \sum_{i=1}^n{b_i\,f(y_i)}, para ciertos n \in \mathbb{N}, b_i \in B, y_i \in \mathcal{I}.

Los b_i son de la forma x_i/s_i con x_i \in A y s_i \in S. Usando la definición de f, y operando en el anillo localizado se tiene que: u\,v = \sum_{i=1}^n{(x_i\,y_i) / s_i} = \left(\sum_{i=1}^n{ x_i\,y_i\,\prod_{j=1,j\neq i}^n{s_j} }\right) / \left(\prod_{i=1}^n{s_i}\right).

Por otra parte, por ser u y v elementos de B, se escriben: u = a_u/s_u y v = a_v/s_v de tal forma que a_u, a_v \in A y s_u, s_v \in S. En conclusión, se sabe que: (a_u\,a_v) / (s_u\,s_v) = \left(\sum_{i=1}^n{ x_i\,y_i\,\prod_{j=1,j\neq i}^n{s_j} }\right) / \left(\prod_{i=1}^n{s_i}\right). Por la definición de igualdad en el anillo localizado, se tiene en consecuencia que debe existir un elemento \tilde{s} \in S tal que:

a_u\,a_v \, \tilde{s}\, \left(\prod_{i=1}^n{s_i}\right) = s_u\,s_v \, \tilde{s}\, \left(\sum_{i=1}^n{ x_i\,y_i\,\prod_{j=1,j\neq i}^n{s_j} }\right) .

Observar además que y_i \in \mathcal{I}, de modo que el lado derecho está en \mathcal{I}, por ser una combinación lineal de los y_i. Se sigue que el lado izquierdo, a_u\,a_v\,s" está en el ideal \mathcal{I}, donde s" es el producto de los elementos del conjunto multiplicativamente cerrado S. De esta manera, como \mathcal{I} es primo, se tiene que a_u \in \mathcal{I}, o bien a_v \in \mathcal{I}, o bien s" \in \mathcal{I}. El tercer caso no puede darse, ya que I tiene intersección vacía con S. Así, a_u \in \mathcal{I} \lor a_v \in \mathcal{I}.

Si se diera el caso a_u \in \mathcal{I}, se tendría que:

  • a_u/1 \in f(\mathcal{I})
  • u = a_u / s_u \in \langle f(\mathcal{I}) \rangle
  • u \in I^e

Análogamente, si se da el caso a_v \in \mathcal{I}, se obtiene v \in I^e. Esto completa la prueba de que si u\,v \in I^e entonces u \in I^e \lor v \in I^e, es decir, que el ideal extendido I^e es primo.

Buena definición de \bullet^c.

Sea \mathcal{J} \subseteq B un ideal primo. Se verá que \mathcal{J}^c \subseteq A es un ideal primo que no interseca a S. Sea u\,v \in \mathcal{J}^c = f^{-1}(\mathcal{J}). Entonces f(u\,v) \in \mathcal{J}. Por ser f morfismo de anillos, f(u)\,f(v) \in \mathcal{J}, y por ser \mathcal{J} primo se tiene entonces que o bien f(u) \in \mathcal{J} o bien f(v) \in \mathcal{J}. De aquí se concluye que o bien u \in \mathcal{J}^c o bien v \in \mathcal{J}^c.

Resta ver que \mathcal{J}^c no interseca a S. Suponer que existiera un s \in \mathcal{J}^c \cap S. Por estar en \mathcal{J}^c = f^{-1}(\mathcal{J}), se sabe que f(s) = s/1 \in \mathcal{J}. Pero además s/1 tiene inverso 1/s \in B porque s \in S. Por lo tanto 1 = (1/s)\,(s/1) \in \mathcal{J}, por lo cual \mathcal{J} debe ser todo el anillo B, lo cual contradice el hecho de que \mathcal{J} era un ideal primo.

Parte 6

Sea \mathcal{I}_S el conjunto de ideales de A que no intersecan a S. Entonces:

  1. Todo elemento \mathcal{I} \in \mathcal{I}_S está contenido en un elemento maximal de \mathcal{I}_S.
  2. Todo elemento maximal de \mathcal{I}_S es primo.

En particular, dado \mathcal{I} \subseteq A un ideal que no interseca a S, se puede concluir que está contenido en un ideal primo \mathcal{P} \subseteq A que no interseca a S.

Demostración.

El ítem 1. se prueba mediante el lema de Zorn. Considerar el conjunto Z \subseteq \mathcal{I}_S de aquellos ideales que contienen a \mathcal{I}. Entonces toda cadena de inclusiones tiene una cota superior, que es la unión de todos los elementos de la cadena. De este modo, por el lema de Zorn se concluye que Z tiene un elemento maximal. Dicho elemento maximal también es maximal de \mathcal{I}_S, e incluye a \mathcal{I}.

Para el ítem 2., sea \mathcal{I} un ideal maximal de \mathcal{I}_S. Se verá que es primo. Para ello, considerar un producto x\,y \in \mathcal{I} y suponer que ni x ni y están en I. En ese caso, \langle I, x \rangle contiene a \mathcal{I}, que es un elemento maximal de \mathcal{I}_S. Por lo tanto, \langle I, x \rangle no puede estar en \mathcal{I}_S y debe contener un elemento s_1 \in S que se escribe de la forma: s_1 = i_1 + a_1\,x para ciertos i_1 \in \mathcal{I}, a_1 \in A. Análogamente, existe un s_2 \in S que se escribe de la forma s_2 = i_2 + a_2\,y para ciertos i_2 \in \mathcal{I}, a_2 \in A.

Multiplicando, se tiene que: s_1\,s_2 = (i_1 + a_1\,x)\,(i_2 + a_2\,y) = i_1\,(i_2 + a_2\,y) + a_1\,x\,i_2 + a_2\,x\,y. Todos estos términos están en \mathcal{I} porque x\,y \in \mathcal{I}, lo que permite concluir que s_1\,s_2 \in \mathcal{I}. Esto implica que \mathcal{I} tiene intersección no vacía con S, lo cual es absurdo ya que \mathcal{I} \in \mathcal{I}_S. De este modo, debe ocurrir necesariamente x \in \mathcal{I} \lor y \in \mathcal{I}.

Parte 7

Están en correspondencia biunívoca:

  • Los ideales \mathcal{I} \subseteq A que tienen intersección vacía con S y no están contenidos propiamente en ideales que tengan intersección vacía con S.
  • Los ideales maximales \mathcal{J} \subseteq B.

Demostración.

De manera análoga a la Parte 5, se considera la biyección \bullet^e con su inversa \bullet^c, y basta ver que están bien definidas para los conjuntos:

  • \mathcal{M}_A = \{ \mathcal{I} \subseteq A \ |\ \mathcal{I} \text{ ideal} ,\ \mathcal{I}\,\cap\,S = \emptyset ,\ \forall I' \text{ ideal de } A.\ I \subsetneq I' \implies I'\,\cap\, S \neq \emptyset \}
  • \mathcal{M}_B = \{ \mathcal{J} \subseteq B \ |\ \mathcal{J}\text{ ideal maximal} \}

Por empezar, observar que \bullet^c y \bullet^e son monótonas:

  • Dados dos ideales \mathcal{I}, \mathcal{I}' de A tales que \mathcal{I} \subseteq \mathcal{I}', se tiene que \mathcal{I}^e \subseteq \mathcal{I}'^e.
  • Dados dos ideales \mathcal{J}, \mathcal{J}' de B tales que \mathcal{J} \subseteq \mathcal{J}', se tiene que \mathcal{J}^c \subseteq \mathcal{J}'^c.

Buena definición de \bullet^e.

Dado un ideal \mathcal{I} \in \mathcal{M}_A, se quiere ver que \mathcal{I}^e está en \mathcal{M}_B. Suponer que \mathcal{I}^e no fuera maximal. Entonces se tendría que \mathcal{I}^e \subsetneq \mathcal{J} = (\mathcal{J}^c)^e \subsetneq B para algún ideal \mathcal{J} de B.

Debe ocurrir \mathcal{I} \subsetneq \mathcal{J}^c pues si fuera el caso \mathcal{I} \supseteq \mathcal{J}^c aplicando \bullet^e se tendría que \mathcal{I}^e \supseteq \mathcal{J}, violando la inclusión ya conocida. Análogamente, debe ocurrir \mathcal{J}^c \subsetneq A, pues si no \mathcal{J} \supseteq B. Además, \mathcal{J}^c tiene intersección vacía con S, ya que de lo contrario \mathcal{J} contendría un elemento de la forma s/1 con s \in S, y por lo tanto al 1, con lo que sería todo el anillo B.

Se concluye entonces que \mathcal{I} \subsetneq \mathcal{J}^c \subsetneq A, lo cual es absurdo, porque \mathcal{I} no puede estar contenido propiamente en un ideal que tenga intersección vacía con S. Entonces \mathcal{I}^e es maximal.

Buena definición de \bullet^c.

Dado un ideal \mathcal{J} \in \mathcal{M}_B, se quiere ver que \mathcal{J}^c está en \mathcal{M}_A. El ideal \mathcal{J} es primo, de modo que por la Parte 5 se sabe ya que \mathcal{J}^c es primo y que tiene intersección vacía con S. Basta ver que \mathcal{J}^c es maximal dentro de los que no intersecan a S. Para ello, suponer que \mathcal{J}^c no fuera maximal. Entonces se tendría que \mathcal{J}^c \subsetneq \mathcal{I} \subsetneq A, para algún ideal \mathcal{I} de A que tenga intersección vacía con S.

Por la Parte 6, se tiene que \mathcal{I} está incluido en un ideal primo \mathcal{P} \subseteq A que no interseca a S. En particular, por ser \mathcal{P} un ideal primo que no interseca a S, por la Parte 2 se sabe ya que (\mathcal{P}^e)^c = \mathcal{P}. De este modo, lo que se tiene es que: \mathcal{J}^c \subsetneq \mathcal{P} \subsetneq A. Extendiendo mediante \bullet^e se obtiene: \mathcal{J} \subseteq \mathcal{P}^e \subseteq B. Además, ambas inclusiones deben ser estrictas. De lo contrario, si \mathcal{J} \supseteq \mathcal{P}^e, contrayendo mediante \bullet^c se tendría que \mathcal{J}^c \supseteq \mathcal{P}, lo que contradice las desigualdades ya conocidas. Análogamente, no puede pasar que \mathcal{P}^e \supseteq B. Por lo tanto, \mathcal{P}^e es un ideal situado entre \mathcal{J} y B. Esto es absurdo porque \mathcal{J} era maximal
por hipótesis, con lo que \mathcal{J}^c debe ser maximal dentro de los ideales que no intersecan a S, y en consecuencia \mathcal{J}^c \in \mathcal{M}_A.

Parte 8

Sea S = A \setminus \mathfrak{p} para cierto ideal primo \mathfrak{p} \subseteq A. Entonces el único ideal maximal de B es \mathfrak{p}^e.

Demostración. Sea \mathcal{J} un ideal maximal de B. Por la Parte 7, esto es decir que \mathcal{J}^c \subseteq A es un ideal maximal dentro de los que no intersecan a S. En particular, \mathcal{J}^c \cap (A \setminus \mathfrak{p}) = \emptyset, y por lo tanto \mathcal{J}^c \subseteq \mathfrak{p}. Además, \mathfrak{p} no interseca a S por definición, y como \mathcal{J}^c es maximal dentro de los que no intersecan a S, se tiene entonces \mathcal{J}^c = \mathfrak{p}. Aplicando \bullet^e, se concluye \mathcal{J} = \mathfrak{p}^e.

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