p-grupo tiene centro no trivial

Si G \neq \{1\} es un p-grupo finito, tiene centro no trivial.

Demostración. Considerar al grupo G actuando sobre sí mismo por conjugación. Es decir, G actúa sobre el conjunto X = G mediante la acción: \varphi : G \to S(G) dada por g \mapsto (h \mapsto g\,h\,g^{-1}). Por el teorema de ecuación de clases se tiene, en general, que: \#X = FP_G(X) + \sum_{i=1}^n{[G:H_i]}, donde los H_i son subgrupos propios de G.

En este caso particular, se tiene que los puntos fijados por G en X son: FP_G(X) = \{x \in G\ |\ x = g\,x\,g^{-1} \text{ para todo } g \in G\} es decir, \{x \in G\ |\ x\,g = g\,x \text{ para todo } g \in G\} = \mathcal{Z}(G), precisamente el centro del grupo.

Reescribiendo entonces la ecuación de clases, se obtiene: |G| = |\mathcal{Z}(G)| + \sum_{i=1}^n{[G:H_i]}. Mirando los términos de esta igualdad módulo p, se tiene que |G| \equiv 0, ya que es un p-grupo no trivial. Asimismo, [G:H_i] \equiv 0 para todo i, porque los subgrupos H_i son propios, y por lo tanto [G:H_i] = |G|/|H_i| = p^n / p^m para ciertos n, m \in \mathbb{N} con m<n.

Se concluye que |\mathcal{Z}(G)| \equiv 0 \mod p. Además |\mathcal{Z}(G)| \neq 0 porque el centro del grupo contiene al menos un elemento (la identidad). Así, |\mathcal{Z}(G)|>0.

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