Grupos de orden cubo de un primo

Sea p un primo y G un grupo no abeliano de orden p^3. Entonces su centro \mathcal{Z}(G) es igual al conmutador [G;G].

Demostración. Por ser G un p-grupo tiene centro no trivial. Además \mathcal{Z}(G) no es todo el grupo G, pues G no es abeliano. Entonces, los posibles órdenes de \mathcal{Z}(G) son \{p, p^2\}.

Se afirma que \mathcal{Z}(G) debe ser de orden p. Si \mathcal{Z}(G) fuera de orden p^2, el cociente G/\mathcal{Z}(G) estaría definido, ya que \mathcal{Z}(G) es siempre un subgrupo normal, y tendría orden p, de modo que G/\mathcal{Z}(G) \simeq \mathbb{Z}_p. Este cociente es cíclico, de modo que G es abeliano, lo cual es una contradicción, que viene de suponer que |\mathcal{Z}(G)| \neq p, y por lo tanto |\mathcal{Z}(G)| \neq p.

Considerando nuevamente el cociente, G/\mathcal{Z}(G), se tiene que es de orden p^2, y consiguientemente pueden darse dos casos:

  • G / \mathcal{Z}(G) \simeq \mathbb{Z}_{p^2}
  • G / \mathcal{Z}(G) \simeq \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p

En cualquier caso, el cociente es abeliano, de modo que el conmutador está incluido en el grupo por el cual se está cocientando, i.e. [G;G] \subseteq \mathcal{Z}(G).

Finalmente, notar que [G;G] es un subgrupo de G. No es el subgrupo trivial, pues esto implicaría que G es abeliano. De modo que es un subgrupo de orden al menos p, incluido en \mathcal{Z}(G), que es de orden p. De este hecho se deduce que \mathcal{Z}(G) = [G;G].

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