Grupo abeliano si cociente por el centro es cíclico

Sea G un grupo. Si G / \mathcal{Z}(G) es cíclico, entonces G es abeliano.

Demostración. Sean h_1, h_2 \in G dos elementos cualesquiera del grupo. Se verá que conmutan. El cociente G / \mathcal{Z}(G) es cíclico, de modo que está generado por la clase de algún elemento g \in G, es decir, G / \mathcal{Z}(G) = \langle g\,\mathcal{Z}(G) \rangle. Por lo tanto, la clase de h_1 es una potencia entera de dicho generador: h_1\,\mathcal{Z}(G) = g^{r_1}\,\mathcal{Z}(G) para algún r_1 \in \mathbb{Z}. Por el mismo motivo, h_2\,\mathcal{Z}(G) = g^{r_2}\,\mathcal{Z}(G) para algún r_2 \in \mathbb{Z}.

Se tiene entonces que existe un elemento central z_1 \in \mathcal{Z}(G) tal que h_1 = g^{r_1}\,z_1 y análogamente h_2 = g^{r_2}\,z_2 para algún elemento z_2 \in \mathcal{Z}(G). Por lo tanto: h_1\,h_2 = g^{r_1}\,z_1\,g^{r_2}\,z_2. Usando que z_1 y z_2 conmutan con todo elemento y que g^{r_1}\,g^{r_2} = g^{r_1 + r_2} = g^{r_2 + r_1} = g^{r_2}\,g^{r_1} se concluye que h_1\,h_2 = g^{r_1}\,z_1\,g^{r_2}\,z_2 = g^{r_2}\,z_2\,g^{r_1}\,z_1 = h_2\,h_1.

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