Cociente abeliano implica conmutador incluido en el subgrupo

Sea G un grupo y H \trianglelefteq G un subgrupo normal. Si G/H es abeliano, entonces el conmutador [G;G] está incluido en H.

Demostración. Para ver que el conmutador [G;G] está incluido en H, basta ver que sus generadores están incluidos en H. Los generadores de [G;G] son de la forma g_1\,g_2\,g_1^{-1}\,g_2^{-1}, para cada par de elementos g_1,g_2 \in G.

Dados dos elementos cualesquiera g_1, g_2 \in G, se tiene que g_1\,H \cdot g_2\,H = g_2\,H \cdot g_1\,H, pues el cociente es abeliano. Dicho de otro modo, g_1\,g_2\,H = g_2\,g_1\,H. Multiplicando a izquierda por g_1^{-1}\,g_2^{-1}, se tiene: g_1^{-1}\,g_2^{-1}\,g_1\,g_2\,H = H. Se concluye entonces que g_1^{-1}\,g_2^{-1}\,g_1\,g_2 \in H, de manera que todos los generadores del conmutador están incluidos en H.

Nota: Observar que, en un grupo, cada elemento de la forma g_1^{-1}\,g_2^{-1}\,g_1\,g_2 se puede pensar como un elemento de la forma h_1\,h_2\,h_1^{-1}\,h_2^{-1}, tomando h_1 = g_1^{-1} y h_2 = g_2^{-1}.

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