Teorema chino del resto para anillos conmutativos

Sea A un anillo conmutativo. Si I, J \subseteq A son dos ideales coprimos, es decir, I + J = A, entonces: A / IJ \simeq A / I \times A / J.

Notar que esto es una generalización del teorema chino del resto, que afirma que, para n,m \in \mathbb{Z} coprimos se cumple: \mathbb{Z}/nm\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}

Demostración.

Considerar \pi_I : A \to A / I y \pi_J : A \to A / J las proyecciones al cociente. Ambas son morfismos de anillos. Considerar el morfismo de anillos \pi = (\pi_I, \pi_J) : A \to A / I \times A / J determinado por a \mapsto (\bar{a}, \bar{a}).

Por empezar, \pi es un epimorfismo. Por ser A = I + J, todo elemento de a \in A se escribe como a = i + j, con i \in I y j \in J. Por lo tanto, todos los elementos de A / I son de la forma a + I = i + j + I = j + I = \bar{j}. Análogamente, todos los elementos de A / J son de la forma \bar{i} con i \in I. De este modo, dado un elemento (\bar{j}, \bar{i}) \in A / I \times A / J cualquiera, tomando i + j \in A se tiene que \pi(i + j) = (\bar{j}, \bar{i}), con lo cual \pi es un epimorfismo.

Por otro lado, se quiere ver que \ker(\pi) = IJ. Recordar que, por definición, los elementos de IJ son de la forma \sum_{k=1}^n i_k\,j_k con los i_k \in I y los j_k \in J. Se observa primero que se cumple IJ = I \cap J:

  • La inclusión (\subseteq) es trivial, pues dado \sum_{k=1}^n i_k\,j_k \in IJ, cada uno de los términos i_k\,j_k está tanto en I como en J, pues ambos son ideales, y en consecuencia la suma de todos ellos también está en I \cap J.
  • Para la inclusión (\supseteq), sea x \in I \cap J. Usando que A = I + J, se tiene en particular que el 1 \in A se escribe como 1 = i + j para ciertos i \in I y j \in J. Multiplicando por x se tiene que: x = i\,x + x\,j. Notar que tanto i\,x como x\,j están en IJ porque x \in I \cap J, y entonces x \in IJ.

Como IJ = I \cap J, basta ver que \ker(\pi) = I \cap J:

  • La inclusión (\supseteq) es clara, porque si x \in I \cap J, la clase de x es \pi_I(x) = x + I = I = \bar{0} en el cociente A / I y, análogamente, \pi_J(x) = x + J = J = \bar{0} en el cociente A / J.
  • Para la inclusión (\subseteq), dado un elemento cualquiera a \in A se tiene, como antes que es de la forma i + j con i \in I y j \in J, y que \pi(a) = (\bar{j}, \bar{i}). Si además a \in \ker(\pi), entonces (\bar{j}, \bar{i}) = (\bar{0}, \bar{0}), con lo cual se tiene que j \in I y que i \in J. Tanto i como j están en la intersección I \cap J, y por ende también lo está la suma i + j = a \in I \cap J.
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