DFU sii DF e irreducible implica primo

Sea A un anillo conmutativo. Son equivalentes:

  • A es un dominio de factorización única.
  • A es un dominio de factorización, y todo elemento irreducible es primo.

Definiciones.

Se repasan las definiciones por autocontención:

  • A es un DF sii todo elemento de A se puede escribir como producto de elementos irreducibles.
  • A es un DFU sii dada una familia \mathbb{P} \subseteq A de representantes de los elementos irreducibles de A, con respecto a la relación de equivalencia de ser asociados (\sim), todo elemento de A se escribe de manera única, salvo reordenamiento, como un producto u\,\prod_{i=1}^n p_i, donde u \in \mathcal{U}(A) es una unidad del anillo y cada factor es un representante de irreducible, p_i \in \mathbb{P}.

    La relación de equivalencia \sim relaciona a dos elementos irreducibles p \sim q como asociados sii existe una unidad del anillo u \in \mathcal{U}(A) tal que p = uq.

    Más precisamente, \mathbb{P} es una familia de representantes sii:

    • Los elementos de \mathbb{P} son irreducibles.
    • Los elementos de \mathbb{P} no son asociados entre sí:

      \forall p_1, p_2 \in \mathbb{P}.\ p_1 \neq p_2 \implies p_1 \not\sim p_2

    • Todos los irreducibles de A tienen un asociado en \mathbb{P}:

      \forall p_1 \in A.\ p_1 \text{ irreducible} \implies \exists p_2 \in \mathbb{P}.\ p_1 \sim p_2

    Notar que todo DFU es un DF.

Demostración.

(\Rightarrow) Sea A un DFU. Basta ver que todo elemento irreducible es primo en A. Sea a \in A irreducible y suponer a \mid x\,y. Considerar entonces las factorizaciones de x e y:

  • x = u\,\prod_{i=1}^n p_i
  • y = v\,\prod_{j=1}^m q_j

donde u,v \in \mathcal{U}(A) y p_i, q_j \in \mathbb{P}. El producto x\,y es de la forma u\,v\,(\prod_{i=1}^n p_i)\,(\prod_{j=1}^m q_j).

Por otra parte, como a es irreducible, es de la forma a = u_1\,r donde u_1 \in \mathcal{U}(A) es una unidad y r \in \mathbb{P} es su representante. Por hipótesis, a divide a x\,y, que por lo tanto se factoriza de manera única como: x\,y = \tilde{u}\,r\,\prod_{k=1}^l r_k, con \tilde{u} \in \mathcal{U}(A) una unidad, y r_k \in \mathbb{P} representantes de irreducibles.

Dado que la factorización de x\,y es única, necesariamente coinciden los conjuntos de representantes que conforman las dos factorizaciones exhibidas: \{p_1, \hdots, p_n, q_1, \hdots, q_m\} = \{r, r_1, \hdots, r_k\}. De este modo, r debe ser alguno de los elementos p_i o alguno de los q_j, con lo cual o bien r \mid x o bien r \mid y. Como a = u_1\,r, se concluye entonces que a \mid x o bien a \mid y.

(\Leftarrow) Sea A un DF tal que todo elemento irreducible es primo. Se verá que A es un DFU. Considerar para ello una familia \mathbb{P} de representantes de los elementos irreducibles de A.

Sea a \in A. Por ser A un DF, a se escribe como producto de irreducibles: \prod_{i=1}^n r_i. Para cada uno de los irreducibles r_i considerar su representante p_i \in \mathbb{P} y, “sacando las unidades para afuera”, escribir a = u\,\prod_{i=1}^n p_i, donde u \in \mathcal{U}(A) es la unidad que resulta de este proceso.

Considerar otra escritura del mismo elemento: a = v\,\prod_{j=1}^m q_j con los q_j \in \mathbb{P} representantes de irreducibles y v \in \mathcal{U}(A) una unidad. Se verá que las dos escrituras coinciden por inducción en n.

Si n = 0, entonces a = u es una unidad. No puede ser que m>0, pues el producto de elementos irreducibles nunca es una unidad. De modo que n = m = 0 y a = u = v.

Si n>0, considerar un factor irreducible p_1 en la primera de las escrituras. Dicho elemento p_1 divide a a, y entonces divide también a v\,\prod_{j=1}^m q_j. Notar que m>0, pues de lo contrario a sería una unidad, lo cual es imposible por un razonamiento similar al del caso base.

En este punto se utiliza la hipótesis de que todos los elementos irreducibles son primos, de tal modo que p_1 debe dividir a alguno de los q_j. Dado que la escritura es única salvo reordenamiento, se puede suponer sin pérdida de generalidad que p_1 divide a q_1. Además, como ambos son representantes de irreducibles, se tiene que p_1 = q_1.

Usando que el anillo A es íntegro, se puede “tachar” el factor común a las dos escrituras del elemento a, llegando así a la igualdad:

u\,\prod_{i=2}^n p_i = v\,\prod_{j=2}^m q_j.

Por hipótesis inductiva, las dos escrituras de a / p_1 coinciden, de modo que también coinciden las dos escrituras de a.

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