Algoritmo de división para polinomios sobre un cuerpo

Sea K un cuerpo. Entonces el anillo de polinomios K[X] es un dominio euclídeo, tomando como norma el grado \deg(p) de un polinomio p \in K[X].

Demostración. Lo que se quiere probar es que existe una noción de norma \varphi : (K[X] \setminus \{0\}) \to \mathbb{N}_0 tal que para todo par de polinomios p_1, p_2 \in K[X], con p_2 \neq 0, se puede dividir p_1 por p_2, de tal manera que existen un cociente y un resto q, r \in K[X] tales que p_1 = q\,p_2 + r con r = 0 o bien \varphi(r)<\varphi(p_2). Tal como se enuncia, se tomará como norma el grado: \varphi = \deg.

La demostración procede por inducción en el grado del dividendo, n = \deg(p_1). Por convención, en el curso de esta demostración se toma \deg{0} = -1 para simplificar el argumento.

El caso p_1 = 0 es trivial, tomando q = r = 0.

Suponer ahora que p_1 es de la forma \sum_{i=0}^{n} a_i\,X^i y que p_2 es de la forma \sum_{j=0}^{m} b_j\,X^j, con a_n, b_m \neq 0. Es decir, \deg(p_1) = n y \deg(p_2) = m.

Si n<m, la situación es que se quiere dividir el polinomio p_1 por otro “más grande”, de modo que el cociente debe ser cero y el resto debe ser p_1. Tomando entonces q = 0 y r = p_1, se tiene p_1 = 0 \cdot p_2 + p_1, con \deg r = n<m = \deg p_2, cumpliendo lo enunciado.

Si n \geq m, se quiere dividir a p_1 por un polinomio “más chico”. Considerar el polinomio \tilde{q} = a_n/b_m\,X^{n - m}. Notar que a_n / b_m está definido porque b_m \neq 0 y los coeficientes están en K, que es un cuerpo. Además, \tilde{q} está construido de tal manera que p_1 y \tilde{q}\,p_2 tienen el mismo grado n, y coinciden en el coeficiente de X^n. Por lo tanto, el polinomio p - \tilde{q}\,p_2 es de grado más chico que \deg(p) = n y se puede aplicar la hipótesis inductiva.

Por h.i. entonces: p - \tilde{q}\,p_2 = q\,p_2 + r con r = 0 o bien \deg(r)<\deg(p_2). Despejando p, se tiene que p = (q + \tilde{q})\,p_2 + r, y se cumplen las condiciones requeridas sobre r.

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