Elementos primos son irreducibles

Sea A un dominio íntegro. Si un elemento a \in A es primo, entonces es irreducible.

Demostración. Sea b un divisor de a, que verifica a = b\,c para algún c \in A. Se verá que o bien b \in \mathcal{U}(A) es una unidad del anillo, o bien b es un asociado de a, es decir b = u\,a para alguna unidad u \in \mathcal{U}(A)

Se sabe que a es primo, por cuanto a\,|\,b o bien a\,|\,c. Si a\,|\,b, entonces se escribe b = a\,x, y se tiene que a = b\,c = a\,x\,c. Esto implica x\,c = 1_A, de modo que c \in \mathcal{U}(A) es una unidad del anillo A, con lo cual b es un asociado de a.

De manera simétrica, si a\,|\,c ocurre que b \in \mathcal{U}(A), lo cual completa la demostración.

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