Cociente del anillo de polinomios sobre un cuerpo por un ideal principal irreducible

Sea K un cuerpo y sea f \in K[X] un polinomio con coeficientes en K. Entonces K[X] / \langle f \rangle es un cuerpo si y sólo si f es irreducible en K[X].

Demostración.

El anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo K[X] es un dominio euclídeo, tomando como norma el grado \deg{p} de un polinomio p \in K[X].

Por ser un dominio euclídeo, K[X] es un dominio de ideales principales, donde vale que todo ideal primo es maximal.

Además, por ser un dominio de ideales principales, K[X] es un dominio de factorización única, donde vale que todo elemento irreducible es primo.

Por lo tanto, en la siguiente cadena todas las afirmaciones son equivalentes:

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