Ideal primo es maximal en un DIP

Sea A un dominio de ideales principales. Si I es un ideal primo de A, entonces I es maximal.

Demostración. Sea J un ideal de A tal que I \subsetneq J. Se verá que J = A.

Por ser A un dominio de ideales principales, existen i, j \in A tales que I = \langle i \rangle y J = \langle j \rangle. Todos los elementos de I están en J, y en particular i = a\,j para algún a \in A. El ideal I es primo o, lo que es lo mismo, el elemento i es primo. Por lo tanto i es irreducible y j es uno de sus divisores.

Si j \in \mathcal{U}(A) es una unidad del anillo, entonces J contiene a j^{-1}\,j = 1_A, de donde J = A, que es lo que se quiere probar.

Si j no es una unidad del anillo A, debe ser un asociado de i, es decir, j = u\,i, para alguna unidad u \in \mathcal{U}(A). Pero en tal caso el ideal I contiene a u\,i = j y por lo tanto J \subseteq I, lo cual contradice el hecho de que I estaba incluido propiamente en J.

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