Ideal maximal es primo

Sea A un anillo conmutativo. Si \mathfrak{m} es un ideal maximal de A, entonces \mathfrak{m} es primo.

Demostración. Sean x, y \in A tales que x\,y \in \mathfrak{m}. Se verá que, o bien x \in \mathfrak{m}, o bien y \in \mathfrak{m}.

Suponer que x \not\in \mathfrak{m} y considerar el ideal I = \langle \mathfrak{m},x \rangle; i.e., I está generado por \mathfrak{m} \cup \{x\}. El ideal I no es \mathfrak{m}, pues contiene a x \not\in \mathfrak{m}. Como \mathfrak{m} es maximal, I es todo el anillo A. En particular, 1_A \in I = \langle \mathfrak{m}, x \rangle de modo que:

\displaystyle 1_A = \underbrace{m}_{\in \mathfrak{m}} + \underbrace{\alpha\,x}_{\in \langle x \rangle}

para algún m \in \mathfrak{m} y algún elemento \alpha \in A.

Multiplicando la ecuación por y, y reordenando los factores (usando que A es conmutativo) se obtiene:

\displaystyle y = \underbrace{m\,y}_{\in \mathfrak{m}} + \underbrace{\alpha\,x\,y}_{\in \mathfrak{m}}

Al multiplicar, m\,y se mantiene dentro de \mathfrak{m} porque este es un ideal. Por otra parte, x\,y está en \mathfrak{m} por hipótesis, y por lo tanto también \alpha\,x\,y \in \mathfrak{m}. Entonces y es suma de dos elementos de \mathfrak{m} y por lo tanto y \in \mathfrak{m}.

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2 Responses to Ideal maximal es primo

  1. Paloma says:

    Hola, ¿vale la proposición si eliminamos la hipótesis de que A sea anillo unitario?

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