Anillo es cuerpo sii sus morfismos son inyectivos

Parte 1

Si K es un cuerpo y f : K \to B es un morfismo de anillos, f es inyectivo.

Demostración. Sea x \in K tal que f(x) = 0. Se verá que x = 0, es decir, que f es un monomorfismo. Si x \neq 0, entonces tiene un inverso multiplicativo x^{-1} \in K. Multiplicando por f(x^{-1}), se tiene f(x^{-1})\,f(x) = f(x^{-1})\,0. Pero f es un morfismo de anillos, con lo cual 1 = f(1) = f(x^{-1}\,x) = f(x^{-1})\,f(x) = 0. Esto es absurdo pues 1 \neq 0 en K.

Parte 2

Si A es un anillo conmutativo tal que todo morfismo de anillos que tiene como conjunto de partida a A es inyectivo, entonces A es un cuerpo.

Demostración. Basta ver que A es de división, pues junto con el hecho de que es conmutativo, esto implica que A es un cuerpo.

Para ver que A es de división, se probará la condición equivalente de que sus únicos ideales a izquierda son \{0\} y A.

Si I es un ideal a izquierda, como A es conmutativo, también es un ideal bilátero, de modo que se puede considerar el cociente A / I. Además, la proyección al cociente \pi_I : A \to A / I es un morfismo cuyo conjunto de partida es A, y por lo tanto es inyectivo. Entonces I = \ker(\pi_I) = \{0\}.

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