Cociente íntegro sii ideal primo

Sea A un anillo conmutativo e I un ideal (bilátero). Entonces A / I es un dominio íntegro sii I es un ideal primo.

Demostración.

Basta observar que, dado un elemento x \in A, decir que x pertenece al ideal I es lo mismo que decir que la clase de x en A / I es la clase del 0. Más precisamente, x \in I \iff x + I = I \iff \bar{x} = \bar{0}.

Dicho esto, se ve que son equivalentes:

  • A / I es un dominio íntegro
  • \forall x, y \in A.\ \bar{x}\,\bar{y} = 0 \implies (\bar{x} = \bar{0} \lor \bar{y} = \bar{0})
  • \forall x, y \in A.\ x\,y \in I \implies (x \in I \lor y \in I)
  • I es un ideal primo
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