Cociente cuerpo sii ideal maximal

Sean A un anillo conmutativo y I un ideal (bilátero) de A. Entonces A / I es un cuerpo si y sólo si I es maximal.

Demostración.

(\Rightarrow) Sea x \not\in I. Se verá que el ideal \langle I, x \rangle, generado por I \cup \{x\}, es todo el anillo. Esto alcanzará para ver que I es maximal, pues si I está incluido propiamente en otro ideal J, entonces J tiene un elemento x \not\in I, y contiene a \langle I, x \rangle = A.

Como x \not\in I, pasando al cociente, se tiene \bar{x} \neq \bar{0} \in A / I. Por lo tanto, \bar{x} tiene un inverso \bar{y} \in A / I, con \bar{y}\,\bar{x} = \bar{1}. Mirada en A, dicha igualdad afirma: y\,x - 1_A \in I o, lo que es lo mismo, 1_A \in I + y\,x. Entonces 1_A \in \langle I, x \rangle y se concluye \langle I, x \rangle = A.

(\Leftarrow) Sea \bar{x} \in A / I con \bar{x} \neq \bar{0}. Entonces x \not\in I. Considerar el ideal \langle I, x \rangle. Este incluye propiamente al ideal I, pues I no contiene a x. Como I es maximal, se sigue que \langle I, x \rangle es todo el anillo A.

Por lo tanto, 1_A está en \langle I, x \rangle, o sea, 1_A \in I + y\,x para algún y \in A. Pasando al cociente, se tiene que \bar{1} = \bar{y}\,\bar{x}, es decir, \bar{x} tiene inverso a izquierda. Como A es conmutativo, A / I también es conmutativo y se concluye que es un cuerpo.

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