Anillo de división sii sus ideales son triviales

Sea A un anillo. A es de división si y sólo si sus únicos ideales a izquierda son \{0\} y A.

Demostración.

(\Rightarrow) Sea I un ideal a izquierda de A distinto de \{0\}. Se verá que I = A. Sea x \in I distinto de 0. Por ser A de división, tiene un inverso multiplicativo x^{-1} \in A. El producto x^{-1}\,x está en I, porque es un ideal a izquierda. Pero entonces 1_A \in I, con lo cual A = I.

(\Leftarrow) Sea x \in A, x \neq 0. Se verá que x tiene inverso multiplicativo. Considerar el ideal a izquierda generado por dicho elemento, I = \langle x \rangle. Por hipótesis, I debe ser o bien \{0\} o bien A. No puede ser \{0\}, pues x \in I, de modo que I = A. Entonces 1_A \in I, es decir, existe a \in A tal que a\,x = 1_A. Por lo tanto, x tiene inverso a izquierda.

Falta ver que x tiene también inverso a derecha. Notar que a no puede ser 0, por lo cual también tiene un inverso a izquierda b \in A tal que b\,a = 1_A. Entonces:

  • a\,x = 1_A
  • b\,a\,x = b (multiplicando a izquierda por b)
  • x = b (usando que b\,a = 1_A)

Con lo que se concluye que x\,a = b\,a = 1_A. Es decir, a también es un inverso a derecha de x.

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