Grupos simples de orden 60

Parte 1

Sea G un subgrupo simple de S_n con |G| > 2. Entonces G está contenido en A_n.

Demostración. Considerar la función signo de la permutación: \mathrm{sg} : G \to G_2 = \{\pm 1\}. Por ser un morfismo, su núcleo, \ker(\mathrm{sg}), es un subgrupo normal de G. Dado que G es simple, \ker(\mathrm{sg}) sólo puede ser un subgrupo trivial de G.

Si \ker(\mathrm{sg}) = {id}, hay una única permutación de signo par en G. Por hipótesis, G tiene al menos tres elementos. Considerar dos permutaciones \sigma, \tau \in G distintas, y distintas de la identidad. Ambas deben tener signo impar: \mathrm{sg}(\sigma) = \mathrm{sg}(\tau) = -1. Por multiplicatividad del signo, se tiene que \mathrm{sg}(\sigma^2) = \mathrm{sg}(\sigma\,\tau) = 1. Pero además \sigma^2 \neq \sigma\,\tau, de modo que son dos permutaciones distintas y con signo par, lo cual es absurdo.

La única posibilidad es que \ker(\mathrm{sg}) = G, lo cual es decir que \mathrm{sg}(\sigma) = 1 para toda permutación \sigma \in G, y por lo tanto G \leq A_n.

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