Dominio euclídeo es de ideales principales

Sea A un anillo conmutativo. Si A es un dominio euclídeo, entonces A es de ideales principales.

Demostración. Sea \varphi : A \setminus \{0\} \to \mathbb{N}_0 una norma asociada a A como dominio euclídeo. Sea I un ideal de A. Por buen ordenamiento de \mathbb{N}_0, existe algún elemento a \in I tal que \varphi alcanza su mínimo valor en a, es decir: \varphi(a) \leq \varphi(b) para todo b \in I. Se verá que todos los elementos de I deben ser múltiplos de a, concluyendo que I = \langle a \rangle es principal.

Sea b \in I. Por ser A un dominio euclídeo, aplicando el algoritmo de división se tiene que existen q, r \in A tales que b = q\,a + r, con r = 0 o bien \varphi(r) < \varphi(a). No puede darse este último caso pues \varphi alcanzaba su mínimo en a, con lo cual r = 0 y b es múltiplo de a.

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