Subgrupos normales según su índice

Sea G un grupo de orden n.

Parte 1

Si H \leq G es un subgrupo de índice [G:H] = m, entonces existe un subgrupo normal K \trianglelefteq G tal que K \leq H y [G:K] divide a m!.

Demostración. Considerar el conjunto de coclases a derecha de H en G, \Omega = \{Ha\ |\ a \in G\}, y la función \varphi : G \to S(\Omega) dada por x \mapsto (Ha \mapsto Hax^{-1}).

La función \varphi está bien definida pues multiplicar a derecha por x^{-1} es una biyección, de modo que \varphi(x) \in S(\Omega). Además, \varphi es un morfismo de grupos, ya que para toda coclase Ha \in \Omega, se cumple: \varphi(xy)(Ha) = Ha(xy)^{-1} = Hay^{-1}x^{-1} = \varphi(x)(\varphi(y)(Ha)) = (\varphi(x)\,\cdot\,\varphi(y))(Ha).

El núcleo K = \ker(\varphi) cumple las condiciones requeridas. Por ser núcleo de un morfismo, es un subgrupo normal de G. Además, K \leq H pues x \in K \implies Hax^{-1} = Ha para todo a \in G; en particular, tomando a = e, se tiene Hx^{-1} = H y x \in H.

El cardinal de \Omega es [G:H] = m, de modo que |S(\Omega)| = m!. Por otro lado, por los teoremas de isomorfismo, G / \ker(\varphi) = \mathrm{im}(\varphi) \leq S(\Omega), de modo que [G:K] divide a |S(\Omega)| = m!.

Parte 2

Si G tiene un subgrupo propio H < G de índice [G:H] = m tal que n \nmid m! entonces G no es simple.

Demostración. Usando la Parte 1, se tiene que existe un subgrupo normal K \trianglelefteq G, con K \leq H y tal que [G:K] divide a m!. Basta ver que K no es un subgrupo trivial de G.

Por un lado, K no puede ser G, pues K \leq H que es un subgrupo propio de G.

Por otra parte, K no puede ser \{e\}, pues en tal caso [G:K] = |G| / 1 = n dividiría a m!, contradiciendo la hipótesis.

Parte 3

Si n no es primo y para algún primo p tal que p \mid n se verifica n \nmid n_p! (donde n_p es la cantidad de p-subgrupos de Sylow de G), entonces G no es simple.

Demostración. Sea H un p-subgrupo de Sylow. Si H \trianglelefteq G es normal, es claro que G no es simple. Si H no es normal en G, el normalizador N_G(H) es un subgrupo propio de G. Usando que el índice del normalizador es precisamente la cantidad de subgrupos de Sylow (es decir, [G:N_G(H)] = n_p) y que, por hipótesis, n \nmid n_p!, se puede concluir que G no es simple aplicando lo ya demostrado en la Parte 2.

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