Relación entre órbitas y estabilizadores

Sea G un grupo actuando sobre un conjunto X. Entonces, dado x \in X, \#\mathcal{O}_G(x) = [G:\varepsilon_G(x)].

Demostración. Hay una biyección entre el conjunto de coclases a izquierda \{g\,\varepsilon_G(x)\ |\ g \in G\} y la órbita \mathcal{O}_G(x) de un elemento x \in X. La función biyectiva está dada por:
\varphi : g\,\varepsilon_G(x) \mapsto g\cdot x

Está bien definida porque si se toman dos clases iguales, g_1\,\varepsilon_G(x) = g_2\,\varepsilon_G(x), se tiene g_1^{-1}\,g_2 \in \varepsilon_G(x) y por lo tanto: \varphi(g_1\,\varepsilon_G(x)) = g_1 \cdot x = g_1 \cdot (g_1^{-1}\,g_2) \cdot x = g_2 \cdot x = \varphi(g_2\,\varepsilon_G(x)).

Es una biyección porque la inversa puede definirse mediante:
\varphi^{-1} : g\cdot x \mapsto g\,\varepsilon_G(x)

Nuevamente, está bien definida porque si g_1 \cdot x = g_2 \cdot x, entonces (g_1^{-1}\,g_2) \cdot x = x, con lo cual g_1^{-1}\,g_2 \in \varepsilon_G(x).

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