Índice del normalizador de un p-subgrupo de Sylow es la cantidad de p-subgrupos de Sylow

Sea G un grupo de orden n y sea p un primo tal que p divide a n. Si H es un p-subgrupo de Sylow, entonces [G:N_G(H)] = n_p, donde n_p denota la cantidad de p-subgrupos de Sylow de G.

Demostración. Se usará la relación entre órbitas y estabilizadores sobre el grupo G actuando por conjugación sobre el conjunto de p-subgrupos de Sylow.

Más precisamente, G actúa sobre el conjunto Syl_p(G) mediante la acción \varphi : G \to S(Syl_p(G)) dada por g \mapsto (S \mapsto gSg^{-1}). La acción está bien definida porque al conjugar un p-subgrupo de Sylow se obtiene otro p-subgrupo de Sylow.

Por la relación entre órbitas y estabilizadores, se tiene:

\#\mathcal{O}_G(H) = [G:\varepsilon_G(H)]

Por definición de órbita, \mathcal{O}_G(H) = \{gHg^{-1}\ |\ g \in G\}. Este conjunto es el de todos los p-subgrupos de Sylow, Syl_p(G), ya que por el segundo teorema de Sylow todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados entre sí.

Por definición de estabilizador, \varepsilon_G(H) = \{g \in G\ |\ gHg^{-1} = H\}, que es el normalizador N_G(H).

Hechas estas observaciones, la ecuación de arriba se traduce en n_p = [G:N_G(H)], que es lo que se quería probar.

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