Teorema de Lagrange

Sea G un grupo finito y H \leq G un subgrupo. Entonces |H| divide a |G|.

Demostración. Se usará el hecho de que el conjunto de coclases \{xH\ |\ x \in G\} es una partición de G. Todo elemento x \in G pertenece a alguna coclase. Además, dadas dos coclases xH e yH, estas son o bien la misma, o bien disjuntas. Más precisamente:

xH \neq yH \iff xH \cap yH = \emptyset

Para ver esto, notar que son equivalentes:

  • xH = yH
  • y^{-1}xH = H
  • y^{-1}x \in H
  • x \in yH
  • \exists h \in H. x = yh
  • \exists h_1, h_2 \in H. xh_1 = yh_2
  • xH \cap yH \neq \emptyset

Por lo tanto G se escribe como unión disjunta de coclases; si Z es un conjunto de representantes:

G = \coprod_{x \in Z} xH

Por otra parte, todas las coclases xH tienen el mismo cardinal que H, pues multiplicar a izquierda por x \in G es una biyección (cuya inversa es multiplicar a izquierda por x^{-1}). De modo que:

|G| = \sum_{x \in Z} \#(xH) = \sum_{x \in Z} |H| = |H| \cdot \#Z

Y por lo tanto |H| divide a |G|.

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