Grupos multiplicativos de un cuerpo finito son cíclicos

Si K es un cuerpo finito y G \leq K^{\times} un subgrupo (multiplicativo), entonces G es cíclico. Notar que en particular esto implica que \mathbb{Z}_p^{\times} es cíclico para p \in \mathbb{Z} primo.

Demostración. Considerar exp(G) el exponente de G, lo cual tiene sentido porque G es Abeliano. Basta ver que exp(G) = |G|, pues en tal caso, por ser G finito, existirá un elemento de orden |G|.

(\leq) Hay al menos un elemento x \in G de orden exp(G). Por lo tanto exp(G) divide a |G| (por teorema de Lagrange) y exp(G) \leq |G|.

(\geq) Por otro lado, para todo elemento x \in G, se cumple x^{exp(G)} = 1. La ecuación x^n = 1 tiene a lo sumo n soluciones en un cuerpo, de modo que hay a lo sumo exp(G) elementos x \in G. Esto prueba |G| \leq exp(G).

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