Ejemplos de conjuntos abiertos con la topología de Scott

Sea (D,\sqsubseteq) un cpo (complete partial ordering). Entonces:

  1. \{z\,|\,z \not\sqsubseteq x\} es abierto con la topología de Scott
  2. \{z\,|\,z \sqsubseteq x\} no necesariamente es abierto

Demostración. Recordar que un conjunto O es abierto con la topología de Scott sii:

  • (\forall x, y \in D)\ x \in O \land x \sqsubseteq y \implies y \in O
  • \sqcup\,X \in O con X \subseteq D dirigido \implies X \cap O \neq \emptyset

Para el ítem 1.:

  • Sean z \not\sqsubseteq x y z \sqsubseteq y. Queremos ver que y \not\sqsubseteq x. Suponer lo contrario, es decir que y \sqsubseteq x. Entonces z \sqsubseteq y \sqsubseteq x, lo que es absurdo.
  • Sea \sqcup\,X \not\sqsubseteq x con X \subseteq D dirigido. Suponer que y \sqsubseteq x para todo y \in X. Entonces x es una cota superior de X y por lo tanto \sqcup\,X \sqsubseteq x, lo que es absurdo. De modo que existe algún y \in X tal que y \not\sqsubseteq x.

Para el ítem 2., considerar el conjunto A = \{a,b\} y el cpo (\mathcal{P}(A), \subseteq). Observar que el conjunto X := \{\emptyset,\{a\}\} es de la forma \{z\ |\ z \subseteq \{a\}\}. Pero X no es abierto pues \{a\} \subseteq \{a,b\} \not\in X.

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Teorema de Sylow 3

Sea G un grupo de orden p^r\,m con p un primo que no divide a m. Sea n_p la cantidad de p-subgrupos de Sylow de G. Entonces n_p divide a m y n_p \equiv 1 \mod p.

Demostración.

Sea Syl_p(G) el conjunto de todos los p-subgrupos de Sylow de G. Por el primer teorema de Sylow se sabe que dicho conjunto es no vacío, de modo que G tiene al menos un p-subgrupo de Sylow S_0. Por el segundo teorema de Sylow se sabe que los demás p-subgrupos de Sylow de G son todos conjugados de S_0. Además, como conjugar es una biyección, todos los subgrupos conjugados de S_0 son de orden p^r y por lo tanto son p-subgrupos de Sylow de G. Resumiendo, se tiene que los p-subgrupos de Sylow de G son exactamente todos los subgrupos conjugados de S_0, es decir:

Syl_p(G) = \{ g\,S_0\,g^{-1}\ |\ g \in G\}

  • m divide a n_p

    Considerar a G actuando por conjugación sobre Syl_p(G). Por el comentario anterior, la acción es transitiva y hay una única órbita. Es decir, Syl_p(G) = \mathcal{O}_G(S_0) donde S_0 puede ser cualquier S_0 \in Syl_p(G). Por la relación entre órbitas y estabilizadores, se tiene entonces que:

    n_p = \#Syl_p(G) = \#\mathcal{O}_G(S_0) = |G:\varepsilon_G(S_0)|

    donde \varepsilon_G(S_0) es el estabilizador de S_0 por la acción de G. Usando el teorema de Lagrange:

    n_p = |G:\varepsilon_G(S_0)| = |G| / |\varepsilon_G(S_0)| = p^r\,m / |\varepsilon_G(S_0)|

    Notar que \varepsilon_G(S_0) es un subgrupo de G, y que además S_0 \subseteq \varepsilon_G(S_0), pues s\,S_0\,s^{-1} = S_0 para todo s \in S_0. Entonces |S_0| = p^r divide a \varepsilon_G(S_0), de modo que |\varepsilon_G(S_0)| = p^r\,\tilde{m}, donde \tilde{m} divide a m. Por lo tanto:

    n_p = p^r\,m / |\varepsilon_G(S_0)| = m / \tilde{m}

    Así se concluye que m = n_p\,\tilde{m}, con lo cual n_p divide a m.

  • n_p \equiv 1 \mod p

    Por otra parte, considerar a S_0 actuando por multiplicación a izquierda sobre X := Syl_p(G). Por el teorema de ecuación de clases se tiene que:

    \#X = \#( ^{S_0}{X}) + \sum_{i=0}^{N}{|S_0:H_i|}

    Afirmación: hay un único punto fijado por la acción de S_0, que es precisamente S_0. Por empezar, S_0 está fijado por la acción de S_0 pues g\,S_0 = S_0 para todo g \in S_0. Por otro lado, dado un S \in X fijado por la acción de S_0, se quiere ver que S = S_0. Por ser un punto fijo, se tiene que g\,S = S para todo g \in S_0. En particular, g\,S \subseteq S con lo cual g = g\,1 \in S. Entonces se tiene que g \in S para todo g \in S_0, es decir S \subseteq S_0. Como además tienen el mismo cardinal, |S| = p^r = |S_0|, se concluye que S = S_0.

    Por otra parte, los términos de la suma son de la forma |S_0:H_i| = |S_0| / |H_i| = p^r / |H_i|. El teorema de ecuación de clases asegura además que dichos términos no son 1, pues las órbitas puntuales quedan agrupadas en el conjunto de puntos fijos, de modo que cada uno de ellos es una potencia positiva de p. En particular, los términos de la suma son todos múltiplos de p, y por lo tanto la suma también lo es. Es decir: \sum_{i=0}^{N}{|S_0:H_i|} = p\,\alpha.

    Resumiendo, se tiene que n_p = \#Syl_p(G) = \#X = 1 + p\,\alpha con lo cual n_p \equiv 1 \mod p.

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Teorema de Sylow 2

Sea G un grupo y p un primo.

Dado H \subseteq G un subgrupo, H se dice un p-subgrupo de Sylow de G sii es un p-subgrupo maximal, es decir, un p-subgrupo que no está incluido en ningún otro p-subgrupo (excepto trivialmente en sí mismo).

Entonces, todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados entre sí, es decir, dados S_1, S_2 \subseteq G dos p-subgrupos maximales, existe un g \in G tal que S_1 = g\,S_2\,g^{-1}.

Demostración.

Por el primer teorema de Sylow, G tiene un subgrupo S_0 de orden p^r. Considerar el conjunto X de todas las coclases a izquierda de S_0, es decir: X := (G/S_0)^{\texttt{izq}} = \{g\,S_0\ |\ g \in G\}.

Notar que se usa la notación (G/S_0)^{\texttt{izq}} para enfatizar que el conjunto de coclases no necesariamente es un cociente (i.e. puede no tener estructura de grupo) porque S_0 no necesariamente es normal en G.

El grupo G actúa por multiplicación a izquierda sobre X. Sea ahora S \subseteq G un p-subgrupo de Sylow. También S actúa por multiplicación a izquierda sobre X. Con esta acción, y usando el teorema de ecuación de clases, se tiene entonces que:

\#X = \#({ }^S X) + \sum_{i=1}^{N}{|S:H_i|}

donde los términos |S:H_i|>1 pues corresponden a órbitas no puntuales. Las órbitas puntuales quedan consideradas dentro del conjunto { }^S X de puntos de X fijados por la acción de S.

Por el comentario precedente, |S:H_i|>1. Pero además S es un p-grupo, de modo que |S:H_i| = |S| / |H_i| debe ser de la forma p^k para algún k>0. En particular, esto quiere decir que p divide a todos los términos |S:H_i|, para cada 1 \leq i \leq N, y entonces divide también a la suma.

Por otra parte, \#X es la cantidad de coclases a izquierda de G, es decir \#X = |G:S_0| = |G| / |S_0| = p^r\,m / p^r = m, que no es divisible por p. Resumiendo, se sabe que:

\underbrace{\#X}_{p\ \textrm{no\ lo\ divide}} = \#({ }^S X) + \underbrace{\sum_{i=1}^{N}{|S:H_i|}}_{p\ lo\ \textrm{divide}}

De este modo, no puede ocurrir que p divida a \#({ }^S X). En particular, \#({ }^S X)>0, es decir, hay al menos un punto de X fijado por la acción de S. Dicho de otro modo, hay al menos un subgrupo T = g\,S_0\,g^{-1} tal que para todo s \in S se tiene que s\,T = T, o sea, s \in T. Es decir, S \subseteq T = g\,S_0\,g^{-1}.

Finalmente, como S es un p-subgrupo maximal y está incluido en g\,S_0\,g^{-1}, que es un p-subgrupo, debe ser S = g\,S_0\,g^{-1}.

Corolario

Los p-subgrupos de Sylow de G son exactamente los subgrupos de G de orden p^r. Es decir: dado S \subseteq G, se tiene que S es un p-subgrupo maximal sii |S| = p^r.

Así, todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados de S_0. Como la relación de ser conjugado es de equivalencia, todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados entre sí.

Demostración.

(\Leftarrow) Los subgrupos de orden p^r son p-subgrupos de Sylow, pues G no puede tener subgrupos de orden p^k con k>r, por el teorema de Lagrange.

(\Rightarrow) Por otro lado, G tiene al menos un p-subgrupo de Sylow S_0, pues por el primer teorema de Sylow tiene al menos un subgrupo de orden p^r. Entonces, todo p-subgrupo de Sylow S \subseteq G es conjugado de S_0, con lo cual |S| = |S_0| = p^r.

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Corolario del teorema de Sylow 1

Sea G un grupo de orden p^r\,m donde p es un primo que no divide a m. Entonces G tiene al menos un subgrupo de orden p^i para cada 0 \leq i \leq r.

Notar que este corolario generaliza el primer teorema de Sylow, que afirma que G tiene al menos un subgrupo de orden p^r, y el teorema de Cauchy, que afirma que G tiene al menos un subgrupo de orden p.

Demostración. Por el primer teorema de Sylow, todo grupo de orden p^r\,m tiene un subgrupo de orden p^r. Por lo tanto, el caso general se reduce al caso en que |G| = p^r, que se demuestra por inducción en r. Para r = 0, la afirmación es trivial. Para r>0, se separa en casos.

Si i = r, el mismo G es un subgrupo de orden p^i = p^r. Si i = 0, se tiene a \{1\} \subseteq G como subgrupo de orden p^i = 1.

Si 0<i<r y G es Abeliano, considerar, por el teorema de Cauchy, un subgrupo K \subseteq G de orden p. Por ser G Abeliano, K es normal y su índice es |G : K| = p^{r-1}. Por hipótesis inductiva, G / K tiene un subgrupo de orden p^{i-1}. Por ser un subgrupo de G / K, debe ser de la forma H / K con K \subseteq H \subseteq G. Pero p^{i-1} = |H:K| = |H| / |K| con lo cual |H| = p^{i-1}\,|K| = p^i, que es lo buscado.

Para el caso en que 0<i<r y G no es Abeliano, observar primero que, como G es un p-grupo, tiene centro no trivial. Sea entonces \mathcal{Z}(G) el centro de G. El centro es de orden mayor que 1 (pues \mathcal{Z}(G) es no trivial) y estrictamente menor que p^r (pues G no es Abeliano). Además, divide a p^r, de modo que |\mathcal{Z}(G)| = p^k con 0<k<r.

Si i \leq k, se tiene por hipótesis inductiva que el centro \mathcal{Z}(G) tiene un subgrupo de orden p^i. Dicho subgrupo es a su vez subgrupo de G, lo que completa la demostración.

Si i>k, usando que \mathcal{Z}(G) \trianglelefteq G, considerar el cociente G / \mathcal{Z}(G) de orden p^{r-k}. Por hipótesis inductiva sobre dicho cociente, se tiene que existe un subgrupo de orden p^{i-k}, que es de la forma H / \mathcal{Z}(G), donde \mathcal{Z}(G) \subseteq H \subseteq G. Por Lagrange, se sabe que p^{i-k} = |H : \mathcal{Z}(G)| = |H| / |\mathcal{Z}(G)|, con lo cual |H| = p^{i-k}\,|\mathcal{Z}(G)| = p^i, lo que completa la demostración.

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Teorema de Sylow 1

Sea G un grupo de orden p^r m donde p es un primo que no divide a m. Entonces G tiene al menos un subgrupo de orden p^r.

Demostración.

Considerar el conjunto X de todos los subconjuntos de G que tienen cardinal p^r. Más precisamente:

X = \{ A\ |\ A \subseteq G,\ \#A = p^r \}

Notar que en este caso se escribe A \subseteq G para la inclusión como subconjunto (y no como subgrupo). Considerar ahora al grupo G actuando sobre X mediante la multiplicación a izquierda; es decir, la acción \varphi : G \to S(X) determinada por g \mapsto (A \mapsto gA). A cada g \in G se le asocia efectivamente una biyección, lo que se puede ver considerando la inversa A \mapsto g^{-1}A.

Por el teorema de ecuación de clases se tiene que:

\#X = \sum_{i=1}^{N}{|G:H_i|}

Donde |G:H_i| son los cardinales de las órbitas de X por la acción de G. Notar que las órbitas pueden ser puntuales (si para algún i se tiene H_i = G).

El número \#X es conocido, pues es la cantidad de subconjuntos de G que tienen cardinal p^r, es decir, la cantidad de maneras de elegir p^r elementos de un conjunto de p^r m elementos: \#X = {p^r m \choose p^r}. Desarrollando el combinatorio: \#X = \prod_{i = 0}^{p^r - 1}{\frac{p^r m - i}{p^r - i}}.

Notar que módulo p se tiene p^r m - i \equiv p^r - i \mod p, con lo cual \frac{p^r m - i}{p^r - i} \equiv 1 \mod p, y entonces \#X \equiv 1 \mod p. (Nota en estos dos últimos pasos se está cometiendo un abuso de la aritmética modular, pues al considerar la fracción módulo p podría pasar que el denominador se anule. De todas maneras la conclusión es válida y se puede justificar con mayor rigurosidad escribiendo cada factor de la forma p \cdot q + r).

Así, se tiene que p no divide a \#X = \sum_{i=1}^{N}{|G:H_i|}. No puede ocurrir que p divida a todos los sumandos, y por lo tanto existe algún i_0 tal que p no divide a |G:H_{i_0}|. Además, se sabe que |G:H_{i_0}| = |G| / |H_{i_0}| = p^r\,m / |H_{i_0}|. Por lo tanto p^r debe dividir a |H_{i_0}|. Como H_{i_0} es un subgrupo de G se tiene entonces que |H_{i_0}| = p^r\,n con n | m. Para finalizar, se verá que n = 1.

Por el teorema de ecuación de clases, se sabe que en la expresión |G:H_{i_0}| el subgrupo H_{i_0} es el estabilizador de un cierto A_0 \in X. Es decir, para todo h \in H_{i_0} se tiene que h\,A_0 = A_0.

Sea ahora un elemento a \in A_0 cualquiera. Se afirma que H_{i_0}\,a \subseteq A_0. Para ver esto, observar que dado cualquier h \in H_{i_0}, se tiene h\,a \in h\,A_0 = A_0, usando que h estabiliza a A_0. Por otro lado, como la multiplicación a derecha por a es una biyección (cuya inversa es la multiplicación a derecha por a^{-1}), se tiene que |H_{i_0}| = |H_{i_0}\,a| \leq \#A_0. Como |H_{i_0}| = p^r\,n y \#A_0 = p^r, se tiene entonces que p^r\,n = p^r, con lo cual n = 1, de donde se concluye que H_{i_0} \subseteq G es un subgrupo de orden p^r.

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Teorema de Cauchy para grupos

Sean G un grupo finito y p \in \mathbb{N} un primo tal que p divide al orden de G. Entonces G tiene un subgrupo de orden p.

(O, equivalentemente, G tiene un elemento de orden p).

Demostración.

Considerar el conjunto de p-uplas de elementos de G cuyo producto es la identidad de G: X = \{ (g_1, \hdots, g_p) \ |\ g_1\cdot\hdots\cdot g_p = 1_G \}

Considerar la operación que “rota” una p-upla hacia la izquierda: \sigma : X \to X dada por (g_1, g_2, \hdots, g_p) \mapsto (g_2, \hdots, g_p, g_1). Está bien definida porque si g_1 \cdot g_2 \cdot \hdots \cdot g_p = 1 entonces g_1 es el inverso de g_2 \cdot \hdots \cdot g_p en G. Como el inverso es único a izquierda y a derecha, g_2 \hdots \cdot g_p \cdot g_1 = 1.

Notar que \sigma es una función biyectiva, porque la rotación en el sentido opuesto es su inversa. Por lo tanto \sigma \in S(X). Observar además que \sigma^p = id.

Se hace actuar al grupo \mathbb{Z}_p sobre X mediante la acción determinada por el morfismo \mathbb{Z}_p \to S(X) dado por \bar{1} \mapsto \sigma. Está bien definido por los comentarios precedentes.

Por el teorema de ecuación de clases se tiene que:

\# X = \#(^{\mathbb{Z}_p}X) + \sum_{i=1}^{N}{[\mathbb{Z}_p : H_i]}

donde ^{\mathbb{Z}_p}X son los puntos de X invariantes por la acción de \mathbb{Z}_p, N es algún número natural y los H_i son subgrupos de \mathbb{Z}_p tales que [\mathbb{Z}_p : H_i]>1.

Por el teorema de Lagrange, cada uno de los subgrupos H_i \subseteq \mathbb{Z}_p debe tener orden 1 o p. Pero no pueden tener orden p, pues si no [\mathbb{Z}_p : H_i] = 1. Entonces [\mathbb{Z}_p : H_i] = p para todo i, con lo cual la suma de dichos términos es un múltiplo de p.

Por otro lado, \# X también es múltiplo de p, de modo que la cantidad de puntos de X invariantes por la acción de \mathbb{Z}_p, que según la notación del teorema de ecuación de clases se escribe \#(^{\mathbb{Z}_p}X), debe ser también un múltiplo de p:

\underbrace{\# X}_{\textrm{m\'ultiplo\ de\ }p} = \underbrace{\#(^{\mathbb{Z}_p}X)}_{\textrm{debe\ ser\ m\'ultiplo\ de\ }p} + \underbrace{\sum_{i=1}^{N}{[\mathbb{Z}_p : H_i]}}_{\textrm{m\'ultiplo\ de\ }p}

Además, hay al menos un punto de X invariante por \sigma, que es el (1, 1, \hdots, 1) \in X. Como la cantidad de puntos invariantes es un múltiplo de p, debe haber por lo menos otro elemento x \in X, distinto de (1, 1, \hdots, 1), tal que \sigma^n(x) = x para todo n \in \mathbb{Z}.

Dicho elemento x debe ser igual a todas sus posibles rotaciones, de modo que debe ser de la forma (g, g, \hdots, g) para algún g \in G. Además g \neq 1. Como x \in X, se concluye que g \cdot g \cdot \hdots \cdot g = 1, de modo que g^p = 1.

Nuevamente por el teorema de Lagrange, el orden de g sólo puede ser 1 o p. No es de orden 1 porque g \neq 1. Así, g \in G es un elemento de orden p, y \langle g \rangle es un subgrupo de G de orden p.

Demostración (alternativa).

Por inducción en el orden de G, separando en casos.

  • Si G es cíclico, existe un elemento x \in G de orden |G|. Como p divide a |G|, considerar el elemento y = x^{|G| / p}. Se tiene que y^p = 1. El orden de y divide a p y no es 1 (pues y \neq 1_G), de modo que y es un elemento de orden p.
  • Si G es Abeliano, considerar un elemento x \in G tal que 1<|\langle x \rangle|<|G|. Se puede elegir un elemento así porque se puede suponer que G no es cíclico (y por lo tanto tampoco es G = \{1\}).

    Se sabe además que |G| = |G:\langle x \rangle| \cdot |\langle x \rangle|.

    • Si p divide a |\langle x \rangle|, se tiene por hipótesis inductiva que existe un elemento y \in \langle x \rangle \subseteq G de orden p.
    • Si p no divide a |\langle x \rangle|, entonces p divide al orden del cociente G / \langle x \rangle, que está bien definido porque G es Abeliano y \langle x \rangle \trianglelefteq G. Por hipótesis inductiva, existe un elemento \bar{y} \in G / \langle x \rangle de orden p. Es decir que \bar{y}^p = \bar{1} pero \bar{y} \neq \bar{1}. Expresado en términos de los elementos de G, se tiene que y^p \in \langle x \rangle pero y \not\in \langle x \rangle.

      Sea m = |\langle x \rangle| el orden de x. Como p no divide a m, se tiene en particular que p y m son coprimos, con lo cual \langle x^p \rangle = \langle x \rangle. La inclusión \subseteq es clara; la inclusión \supseteq se desprende del hecho de que 1 = \alpha\,p + \beta\,m, de modo que x = (x^p)^\alpha. Entonces todo elemento de \langle x \rangle = \langle x^p \rangle se escribe como (x^p)^{\gamma} = (x^{\gamma})^p para algún \gamma \in \mathbb{Z}.

      En este caso, y^p \in \langle x \rangle, de modo que y^p = x^k para algún k \in \mathbb{Z} y, despejando, se tiene y^p\,x^{-k} = 1. Como x^{-k} es un elemento de \langle x \rangle, se escribe x^{-k} = z^p para cierto z \in \langle x \rangle.

      Así, dado el elemento y\,z \in G, y usando que G es Abeliano, se tiene que (y\,z)^p = y^p\,z^p = y^p\,x^{-k} = 1. Además, y\,z \neq 1, porque si y = z^{-1} se concluiría que y \in \langle x \rangle, lo que no puede ocurrir.

      Se tiene entonces que y\,z es un elemento de orden p en G.

  • Si G no es Abeliano, considerar \mathcal{Z}(G) el centro de G.
    • Si p divide a \mathcal{Z}(G), . se tiene que \mathcal{Z}(G) \neq G, porque G no es Abeliano. Se concluye por hipótesis inductiva que hay un elemento de orden p en \mathcal{Z}(G) \subseteq G.
    • Si p no divide a \mathbb{Z}(G), considerar a G actuando sobre sí mismo por conjugación, es decir, mediante la acción determinada por el morfismo \varphi : G \to S(G) dado por g \mapsto (h \mapsto g\,h\,g^{-1}). Los puntos invariantes de G por dicha acción son ^GG = \{x \in G\ |\ g\,x\,g^{-1} = x\ \forall g \in G\} = \{x \in G\ |\ g\,x = x\,g\ \forall g \in G\} = \mathcal{Z}(G), es decir, el centro de G.

      Por el teorema de ecuación de clases se tiene que:

      |G| = |\mathcal{Z}(G)| + \sum_{i=1}^{N}{[G:H_i]}

      para ciertos N \in \mathbb{N}, y subgrupos H_i \subseteq G. Como p divide a |G| pero no divide a |\mathcal{Z}(G)|, no puede ser que p divida a [G:H_i] para todo i. De modo que debe existir algún i para el cual p no divide a [G:H_i].

      Entonces, como |G| = [G:H_i] \cdot |H_i|, se tiene que p divide al orden de H_i \subseteq G. Además, H_i es un subgrupo propio de G, porque el teorema de ecuación de clases asegura que [G:H_i]>1.

      Por lo tanto, por hipótesis inductiva, existe un elemento de orden p en H_i \subseteq G.

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Teoremas de isomorfismo de grupos

Primer teorema de isomorfismo

Sean G, G' grupos arbitrarios y \varphi : G \to G' un morfismo de grupos. Entonces G / \ker(\varphi) \simeq {\mathop{\rm{im}}}(\varphi).

Demostración.

Usando la factorización de morfismos de grupos sobre el núcleo \ker(\varphi), se tiene que existe un único morfismo \bar{\varphi} : G / \ker(\varphi) \to G' tal que \varphi = \bar{\varphi} \cdot \pi.

Considerar dicho morfismo \bar{\varphi} restringiendo su codominio a {\mathop{\rm{im}}}(\varphi). Es un epimorfismo, porque por definición de la imagen, para todo y \in {\mathop{\rm{im}}}(\varphi) existe un x \in G tal que \varphi(x) = y, y por lo tanto \bar{\varphi}(\bar{x}) = y.

Además, es un monomorfismo, porque \bar{\varphi}(\bar{x}) = \varphi(x). Entonces si \bar{\varphi}(\bar{x}) = 0 se tiene que x \in \ker(\varphi), con lo cual \bar{x} = 0.

Así, \bar{\varphi} : G / \ker(\varphi) \to {\mathop{\rm{im}}}(\varphi) resulta un isomorfismo.

Segundo teorema de isomorfismo

Sean G, H, K grupos tales que K \leq H \leq G con K \trianglelefteq G y H \trianglelefteq G. Entonces se tiene que (G/K) / (H/K) \simeq G/H.

Informalmente, esto afirma que se pueden “cancelar” las ocurrencias de K. Desde otro punto de vista, esto afirma que tomar el cociente de un cociente ((G/K) / (H/K)) no aporta mayor información que tomar un cociente del grupo original (G/H).

Demostración.

Por empezar, se debe verificar que las expresiones del enunciado están bien definidas. Es decir, que todos los grupos por los que se cocienta son normales. Por un lado, K \trianglelefteq H, pues H es un subconjunto de G, con lo que g\,K\,g^{-1} = K para todo g \in H. Además, H/K \trianglelefteq G/K, ya que dados g\,K \in G/K y h\,K \in H/K se tiene que g\,h\,g^{-1} \in H y por lo tanto g\,h\,g^{-1}\,K \in H/K.

Para el isomorfismo, considerar primero la proyección al cociente: \pi_H : G \to G/H. Su núcleo es H, y K \subseteq H. Por lo tanto, se puede aplicar la factorización de morfismos de grupos para concluir que existe un único morfismo \psi : G/K \to G/H que cumple \pi_H = \psi \cdot \pi_K, donde \pi_K : G \to G/K es la proyección al cociente sobre K.

El morfismo \psi es un epimorfismo, porque \pi_H = \psi \cdot \pi_K lo es. Además, \ker(\psi) = \{x\,K \in G/K\ |\ \psi(x\,K) = 0\}, es decir, \ker(\psi) = \{x\,K \in G/K\ |\ \pi_H(x) = 0\}. Esto a su vez equivale a afirmar que \ker(\psi) = \{x\,K \in G/K\ | x \in H\} = H/K.

Resumiendo, \psi : G/K \to G/H es un epimorfismo tal que \ker(\psi) = H/K, con lo cual, por el primer teorema de isomorfismo, se concluye (G/K) / (H/K) \simeq G/H.

Tercer teorema de isomorfismo

Sean G un grupo y S, T subgrupos de G. Sea S \trianglelefteq G. Entonces se tiene que ST / S = T / (S \cap T).

Si el grupo es Abeliano, usando notación aditiva: \frac{S + T}{S} = \frac{T}{S \cap T}.

Demostración.

Por empezar se debe verificar que las expresiones que intervienen en el enunciado están bien definidas. Por un lado, ST es un subgrupo de G porque S es normal en G. Teniendo esto en cuenta, se cumple también que S \trianglelefteq ST, porque dado cualquier x \in ST, en particular x \in G, y por lo tanto x\,S\,x^{-1} = S. Por último, S \cap T \trianglelefteq T. Para ello, dados t \in T y s \in S \cap T, se debe ver que t\,s\,t^{-1} \in S \cap T. En efecto, t\,s\,t^{-1} está en t\,S\,t^{-1} = S porque S es normal, y está en T porque todos sus factores lo están.

Para el isomorfismo, considerar primero la aplicación: \varphi : T \to ST / S definida por t \mapsto \bar{t} = 1\,t\,S. Se tiene que \varphi es un morfismo de grupos porque \varphi(t\,t') = \bar{t}\bar{t'} = \varphi(t)\,\varphi(t').

Por un lado, \varphi es un epimorfismo. Para ver esto, considerar un elemento s\,t\,S \in ST/S arbitrario. Por ser S normal, se sabe que s\,t se escribe como t\,\tilde{s} para algún \tilde{s} \in S. Se tiene entonces que s\,t\,S = t\,\tilde{s}\,S = t\,S = \varphi(t).

Por otro lado, el núcleo \ker(\varphi) es el conjunto \{t \in T\ |\ t\,S = S\}, es decir, T \cap S.

Resumiendo, \varphi : T \to ST / S es un epimorfismo cuyo núcleo es T \cap S. Por el primer teorema de isomorfismo se concluye entonces que T / (T \cap S) \simeq ST / S.

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