Tag Archives: suma directa
Módulo proyectivo sii sumandos directos proyectivos
Sea un -módulo. Entonces es proyectivo si y sólo si todo es proyectivo. Demostración. En ambos casos la demostración se basa en el hecho de que para cada se dispone de un morfismo proyección y de un morfismo inclusión , … Continue reading
Módulo proyectivo sii sumando directo de un libre
Sea un -módulo. Entonces es proyectivo si y sólo es isomorfo a un sumando directo de un módulo libre. Es decir, es proyectivo si y sólo si existe un -módulo libre de la forma con . Demostración. () Para simplificar … Continue reading
Módulo se descompone como núcleo de una sección más imagen de una retracción
Sean y dos -módulos y , tales que . Entonces . Demostración. Para ver que la suma es directa, sea . Entonces existe tal que . Por lo tanto . Pero , de modo que , y entonces . Para … Continue reading
Caracterización de las sucesiones exactas cortas escindidas
Sean , , -módulos, y sea la siguiente sucesión exacta corta: Entonces son equivalentes: es una sección. es una retracción. La sucesión exacta corta dada es equivalente a esta otra: Si se cumple alguna de (y por lo tanto todas) … Continue reading
Equivalencia de sucesiones exactas cortas de módulos
Sean dos sucesiones exactas cortas de -módulos: tales que existe un morfismo que cumple: Entonces es un isomorfismo, i.e. . Esta propiedad da lugar a una relación de equivalencia entre sucesiones exactas cortas. Demostración. Por “diagram chasing“: Monomorfismo: Sea un … Continue reading
Caracterización de los módulos semisimples
Sea un -módulo. Entonces son equivalentes: es una suma directa de la forma , donde los son submódulos simples. es una suma de la forma , donde los son submódulos simples. Todo submódulo admite un complemento directo, es decir, existe … Continue reading
Anillo conmutativo es semisimple sii es producto finito de cuerpos
Sea un anillo conmutativo. Entonces es semisimple si y sólo si es isomorfo como anillo a un producto finito de cuerpos. Es decir, donde cada es un cuerpo. La estructura de anillo del producto está dada por la suma y … Continue reading
Módulos Noetherianos sii suma directa Noetheriano
Sean módulos sobre un anillo . Entonces son Noetherianos si y sólo si la suma directa es un módulo Noetheriano. Demostración. Basta ver el caso . El caso general se sigue por inducción en . Considerar el morfismo determinado por … Continue reading
¡Pruf! 